O mais rápido

Coloca as duas peças de borracha no topo das duas rampas paralelas. Antes de as largares, considera: qual delas atingirá primeiro a linha de chegada, a rampa direita ou a da rampa curva?

Poderás repetir esta experiência, fazendo variar a inclinação da rampa direita.Qual é a vantagem da rampa curva? É mais comprida? Tem uma maior, menor inclinação?

A inclinação da rampa corresponde ao ângulo que esta forma com a linha imaginária do horizonte - Pequena inclinação = linha quase horizontal, grande inclinação = linha muito inclinada.

Ficaste surpreendido com o resultado? Algumas pessoas ficam, outras não. Normalmente aquelas que mais reflectiram, ficam mais surpreendidas. Talvez tenhas aprendido que o caminho mais curto entre dois pontos é a linha recta que os liga. Ora, normalmente, o caminho mais curto é também o mais rápido. Trata-se de uma regra que funciona, quando a velocidade é constante, o que aqui não se aplica.

As pessoas que não ficam surpreendidas com o resultado desta experiência, reflectiram na realidade, mais do que as outras. Na rampa curva, a elevada inclinação inicial confere muito rapidamente uma elevada velocidade, que permite à peça de borracha chegar primeiro.

A vantagem da elevada velocidade inicial é ainda mais acentuada, quando a inclinação da rampa direita é reduzida. Numa rampa direita com reduzida inclinação, a aceleração da peça de borracha dá-se muito lentamente. Na rampa curva, além de ter de percorrer uma trajectória mais longa, a peça de borracha deve ainda subir, perdendo, por conseguinte velocidade. Contudo, consegue chegar primeiro.

Considera um caso extremo: a rampa direita não tem qualquer inclinação, pelo que a peça de borracha manter-se-á imóvel. Na rampa curva, a velocidade da peça de borracha abranda no final da trajectória. Se não houvesse nem fricção, nem resistência do ar, a peça lançada na rampa curva atingiria a altura de partida. De facto, a fricção e a resistência do ar afectam a energia cinética da peça, impedindo-a de atingir a altura inicial. A peça na rampa direita, com inclinação zero, necessitaria de um tempo infinito para atingir o ponto de chegada. A peça na rampa curva quase que atinge o ponto de chegada, mas antes disso, começa a descer, acabando por parar na parte inferior da rampa.

Qual é a forma da rampa curva?

Provavelmente já viste muitas curvas nesta exposição e talvez já conheças o nome de algumas. Se observares as curvas na natureza e conheceres os respectivos nomes, aprenderás também a reconhecer a sua “forma visual e geométrica”. Por isso, mantém-te atento.

Observa a forma da rampa curva e pergunta: será a curva descrita por uma corrente suspensa (catenária, função co-seno hiperbólico)? Não… Será uma parábola? Não… será um segmento de um círculo? Não… Fará parte de uma elipse? Não... Será que já vi esta curva? Provavelmente.

Talvez seja a primeira vez que vês “conscientemente” esta curva, que se designa por ciclóide.

Há mais de duzentos anos, grandes matemáticos debruçaram-se sobre este problema, procurando saber qual a forma da trajectória que permitisse passar de um ponto inicial a um ponto final num intervalo de tempo mínimo, graças apenas à acção da força da gravidade? A esta trajectória foi dado o nome de “braquistócrona” (do grego brachystos, “brevíssimo” + crono, “tempo”). Ficou resolvido o problema, mas verificou-se então, que a solução já existia, sendo a mesma designada por curva ciclóide.

Esta famosa curva é quase sempre descrita por tudo que roda. Marca um ponto no lado exterior de uma roda de uma bicicleta, mas uma roda de carro ou de comboio também serve, e fá-la rodar (sem deslizar) numa estrada ou sobre carris direitos e planos. O ponto marcado descreve uma ciclóide.

Desta forma, já viste ciclóides mais de um milhão de vezes. O problema é que, normalmente, os pontos nas rodas em movimento não deixam uma imagem permanente.

Uma forma de fotografar uma ciclóide consiste em fixar um pequeno foco de luz no pneu de uma roda de bicicleta, colocar a máquina fotográfica sobre um tripé e esperar pela noite. No escuro, pede a um amigo para andar na bicicleta, e tira a fotografia. O foco de luz descreve uma ciclóide, a qual será fotografada.

Mas há certamente formas mais práticas de desenhar uma ciclóide. Uma delas exige a participação de três pessoas. A primeira deve segurar uma régua colocada sobre uma folha de papel, a segunda deve fazer rodar um objecto circular, como um copo, ou uma lata de refrigerante, ao longo da régua (atenção não se trata de fazer deslizar o objecto) e, a terceira, deve, com uma caneta, marcar no papel a trajectória do ponto fixo marcado na borda da roda em movimento.

A ciclóide foi estudada por Galileu Galilei, que lhe deu o nome, em 1599. No século XVII, a ciclóide foi objecto de tanta controvérsia entre os matemáticos da época, que ficou conhecida como a “Helena dos geómetras”.

Na Internet poderás encontrar centenas de sites, com imagens de curvas famosas. Da próxima vez que navegares na Net, tenta localizar alguns destes sites. Ficarás a saber o nome destas curvas, mas também a conhecer a sua forma e respectiva equação matemática, por que razão lhes foram atribuídos os nomes esquisitos que têm e quem as desecobriu. As equações são importantes, porque são essenciais se precisares de fazer programação informática e quiseres desenhar as curvas.

Se te interessas pelas curvas, que são unidimensionais, mas também por outras figuras geométricas, procura na Internet; aí encontrarás figuras bidimensionais, tridimensionais e até formas extraordinárias, em espaços de quatro e mais dimensões.