Lemniscata de Bernouilli

Seguem-se, na mesma bancada, três módulos formados por mecanismos que ilustram algumas propriedades geométricas.

O primeiro permite desenhar uma curva em forma de 8, conhecida pelo nome de Lemniscata de Bernouilli.

Com uma folha nova de papel, e com a caneta na posição de escrever (rode no sentido dos ponteiros do relógio e deixe cair), provoque o movimento das três hastes móveis de modo a traçar uma curva. Obrigue as três hastes a manter-se na posição de antiparalelogramo, não as deixe passar à posição de paralelogramo.

À medida que o movimento se vai fazendo, verá aparecer traçada uma curva, a lemniscata de Bernoulli. Coloque a caneta na posição recolhida (levante e rode no sentido contrário aos ponteiros do relógio) e retire o papel.

Historial

Em 1694, Jacob Bernoulli publicou um artigo na famosa Acta Eruditorum , no qual descrevia uma curva plana, que designou por lemniscus. Actualmente, essa curva é conhecida pela designação de lemniscata de Bernoulli. Catorze anos antes, no ano de 1680, Cassini já tinha descrito, de modo genérico, uma família de curvas planas, conhecidas actualmente por ovais de Cassini. Mas, muito embora a lemniscata seja um caso particular de uma oval de Cassin, na época de Bernoulli não havia ainda consciência desse facto. Só mais tarde quando as propriedades daquelas curvas foram sendo conhecidas e as suas caracterizações mais diversificadas, um tal facto se tornou claro. Grandes matemáticos como Gauss e Euler também se ocuparam do estudo da lemniscata. De resto, no caso de Gauss, foram precisamente as suas investigações acerca do comprimento de arco da lemniscata, que o conduziram ao desenvolvimento da teoria das funções elípticas. Quem, contudo, primeiro forneceu uma descrição analítica da lemniscata foi Giovanni Fagnano, em 1750.

Descrição geométrica: em termos geométricos, a lemniscata possui uma caracterização muito parecida com a da elipse: dados dois pontos F1 e F2, que se designam “focos”, os pontos, X, da lemniscata são os pontos do plano que satisfazem a condição de o produto das distâcias de X a F1 e a F2 ser constante (no caso da elipse é a soma dessas distâncias que é constante).

Na figura 1 encontra-se representada a lemniscata correspondente ao caso em que o produto das distâncias é a2. Neste caso a distância entre os focos (F1 e F2) é 2a.

De entre os vários engenhos mecânicos que permitem desenhar uma lemniscata, destaca-se, pela sua simplicidade, aquele que se descreve na figura 2.

O mecanismo consiste basicamente de um antiparalelogramo articulado. Os pontos F1 e F2 estão fixos e correpondem aos focos da lemniscata. Os segmentos [F1A1], [A1A2] e [A2F2], podem imaginar-se de um material rígido. As uniões em A1 e A2, são articuladas. Considerando o mecanismo que acabámos de descrever, se fizermos deslocar o segmento [A1A2] para que A1 e A2 descrevam circunferências de modo a que A1 e A2 nunca se encontrem no mesmo semiplano deteminado pela recta F1F2. Então, o ponto médio do segmento [A1A2], denotado por T, traça, no seu deslocamento, uma lemniscata.

Vimos, no nível anterior, como a lemniscata pode ser gerada por um mecanismo particularmente simples. No entanto a mesma curva surge numa variedade de outros contextos. Um desses contextos está relacionado com o conceito de inversão relativamente a uma circunferência. Esta transformação foi pela primeira vez descrita por J. Steiner, em 1830.

A figura 1 ajuda a compreender essa transformação. Considera-se uma circunferência, omega, de centro em O e de raio k. Dado um ponto, P, (diferente de O) o seu transformado é o ponto P’, na semirecta OP, tal que .

Consultando ainda a figura 1, podemos ver como se pode obter P’, geometricamente.

A lemniscata pode então obter-se através da inversão de uma hipérbole, como se ilustra na figura 2, lado esquerdo.

A figura 2, à direita, ilustra outro modo de relacionar uma hipérbole e a lemniscata, como a envolvente de uma família de circunferências com centro sobre a hipérbole e passando pelo centro daquela cónica.

Podemos ainda obter a lemniscata cortando um toro através de um plano, como as figuras 3 e 4 permitem ilustrar.