Atractor de Sierpinski


No caso de não ter entrado no recinto através do «corredor» do Quarto de Ames, encontra logo à entrada um grande cubo revestido a mármore, com um tampo de vidro e, dentro, num tronco de pirâmide quadrangular invertido, um dado grande com faces de 3 cores. Carregando no botão, o dado é lançado e contribui assim com um ponto para um desenho projectado na parede por cima: é o chamado Atractor de Sierpinski.

Eis o aspecto, em Fevereiro de 2001, da imagem do Atractor de Sierpinski:

 

 atractor

 

Foi obtida com os pontos construídos a partir dos lançamentos de um dado atirado pelos sucessivos visitantes desde 24 de Novembro de 2000.

 

Cada visitante, ao carregar num botão, desencadeia o seguinte processo:

 

1. o dado é lançado

2. a cor (azul, verde, vermelho) do dado é reconhecida automaticamente

3. é desenhado o segmento que une a posição do último ponto marcado ao vértice com a cor que saiu

4. é acresentado ao desenho o ponto médio desse segmento

5. é apagado o segmento e fica marcado o último ponto acrescentado.

 

O primeiro ponto foi um dos vértices.

Eis os aspectos da figura em algumas fases iniciais:

Se, em vez de se tomar como primeiro ponto um dos três vértices do triângulo, se tomasse um qualquer ponto do plano, o aspecto da figura obtida (desprezando um número suficiente de pontos iniciais) seria muito semelhante ao que está representado na figura de cima. O triângulo de Sierpinski, que contem a figura acima, é um atractor para o processo descrito, em particular, as distâncias a esse conjunto dos sucessivos pontos obtidos a partir de um qualquer ponto do plano, tendem para 0.

 

Algumas questões interessantes e relacionadas:

1. Será que a frequência com que os pontos caem em cada «pequeno triângulo» é a mesma ou será que há zonas de maior concentração? (É possível concluir que a repartição é uniforme.)

2. E se tivessemos aplicado um processo análogo a um quadrado? (Ou a um pentágono regular ou a um hexágono regular, ...?)

3. As conclusões seriam essencialmente diferentes se os polígonos de partida fosem não regulares? (Por exemplo, um triângulo escaleno ou um quadrilátero qualquer.)